Le coin des sciences avec Robert64

[Robert64]

Oui, les logiciens sont des gens très spéciaux:
Russell raconte qu'il était allé rencontrer Gottlob Frege, un des inventeurs de la théorie des ensembles.
Il cherche, ne trouve pas et avise un vieux monsieur occupé à tailler ses rosiers. Il lui demande:
-Je cherche le Dr Frege
-Il est dans son jardin!
-Mais je ne le vois pas! Ou est-il ?
-Il est en train de tailler ses rosiers!

A+

[Snatcher]

...
Et donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence n'est elle-même pas démontrée.

Si! Démonstration due à Gödel, justement.

En 1931, Kurt Gödel, alors âgé de 25 ans prouva deux théorèmes qui sont parfois désignés comme "Le théorème d'incomplétude", même s'il arrive que cette expression soit employée pour désigner le premier d'entre eux.

La complétude d'un système logique est la propriété en vertu de laquelle toute proposition bien formée (c'est à dire grammaticalement correcte suivant les règles du système) peut être prouvée ou infirmée à partir des axiomes du système.

Le théorème de complétude antérieur de Gödel montre qu'il existe un système axiomatique simple de ce genre pour la logique du premier ordre.
Le Graal du programme de Hilbert était cependant de créer un système axiomatique complet et cohérent qui puisse décrire l'arithmétique , c'est à dire les mathématiques des nombres entiers.
Un tel système nécessiterait une logique du second ordre, c'est à dire un système dans lequel les variables peuvent aussi désigner des ensembles.

Gödel créa un choc dans le monde mathématique en prouvant, dans son article célèbre "Sur les propositions formellement indécidables des principia mathematica (ouvrage fondamental de Russell et Whitehead) et des systèmes apparentés" , que tout système axiomatique cohérent pour les mathématiques, sous la forme développée dans les Principia est nécessairement incomplet. Plus précisément, le premier des deux théorèmes d'incomplétude établit que dans un système axiomatique assez riche pour décrire les propriétés des nombres entiers et des opérations arithmétiques ordinaires, il subsistera toujours des propositions qui sont grammaticalement correctes suivant les règles du système , et de surcroit vraies mais qui ne sauraient être prouvées au sein du système.

Le second théorème déclare que si un tel système devait prouver sa propre cohérence, il serait incohérent.
C'était là un nouveau coup, dévastateur, porté au programme de Hilbert , avec son objectif d'un système axiomatique fort pourvu d'une preuve de sa propre cohérence.
A+

Donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence est incohérente.

[Robert64]

Donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence est incohérente.

Pas exactement: Une théorie qui serait capable de prouver sa cohérence (à partir de ses axiomes internes) serait nécessairement incohérente.
On tombe sur un paradoxe du à l'auto référence de la proposition. Ce qui veut simplement dire que la cohérence de la théorie n'est pas prouvable (en interne)
Mais ne pas oublier que Gödel a démontré qu'il existe des propositions vraies et non prouvables.
Le problème est juste celui de la prouvabilité, pas celui du fait que la théorie soit cohérente ou non.
Pour faire simple, la théorie est peut-être cohérente, mais si elle est capable de le prouver elle-même, c'est qu'elle ne l'est pas.
A+

Je rajoute un exemple, pour essayer d'être plus clair;

Si tu postules quelque chose comme "Par un point extérieur à une droite, il ne passe qu'une parallèle".

A partir de cet axiome externe, tu peux bâtir toute la géométrie euclidienne dont nous savons qu'elle ne débouche sur aucun paradoxe, donc qu'elle est cohérente (mais nous ne savons pas le prouver sans faire appel au postulat de départ.)
Si tu postules qu'il ne passe aucune droite par le point, ou qu'il en passe une infinité, tu peux bâtir les géométries de Riemann ou de Lobachevski, toutes aussi cohérentes mais toutes aussi indémontrables, de l'intérieur.

Dit autrement (après je dois aller m'occuper du chapon):

Gödel prouva son théorème d'incomplétude en créant, dans le contexte de la logique moderne, un énoncé dont l'esprit est très semblable à celui d'Eboulidès (le fameux menteur crétois), avec une différence cruciale: tandis qu'Eboulides déclare "cet énoncé est faux", l'ingénieuse variante de Gödel revient à dire dans le langage de l'arithmétique: "cet énoncé est indémontrable". Toute théorie axiomatique cohérente dans laquelle on peut formuler un énoncé de ce genre doit être nécessairement incomplète: ou cet énoncé est faux, auquel cas il est à la fois faux et démontrable, contredisant ainsi la cohérence du système axiomatique, ou il est vrai,auquel cas il est à la fois vrai et indémontrable, ce qui en établit l'incomplétude.

[Snatcher]

Comme "tout est mathematique", je relance votre Heseinberg et votre Bitbol d'un Gödel et de son (ses) theoreme d'incompletude:

tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique contient des propositions qui ne peuvent être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question.

une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence

donc en gros en math rien n'est (completement) démontrable , tout est indécidable...

...
Et donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence n'est elle-même pas démontrée.

Si! Démonstration due à Gödel, justement.

En 1931, Kurt Gödel, alors âgé de 25 ans prouva deux théorèmes qui sont parfois désignés comme "Le théorème d'incomplétude", même s'il arrive que cette expression soit employée pour désigner le premier d'entre eux.

La complétude d'un système logique est la propriété en vertu de laquelle toute proposition bien formée (c'est à dire grammaticalement correcte suivant les règles du système) peut être prouvée ou infirmée à partir des axiomes du système.
(...)
Plus précisément, le premier des deux théorèmes d'incomplétude établit que dans un système axiomatique assez riche pour décrire les propriétés des nombres entiers et des opérations arithmétiques ordinaires, il subsistera toujours des propositions qui sont grammaticalement correctes suivant les règles du système , et de surcroit vraies mais qui ne sauraient être prouvées au sein du système.

Le second théorème déclare que si un tel système devait prouver sa propre cohérence, il serait incohérent.
C'était là un nouveau coup, dévastateur, porté au programme de Hilbert , avec son objectif d'un système axiomatique fort pourvu d'une preuve de sa propre cohérence.

Donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence est incohérente.

Pas exactement: Une théorie qui serait capable de prouver sa cohérence (à partir de ses axiomes internes) serait nécessairement incohérente.
On tombe sur un paradoxe du à l'auto référence de la proposition. Ce qui veut simplement dire que la cohérence de la théorie n'est pas prouvable (en interne)
Mais ne pas oublier que Gödel a démontré qu'il existe des propositions vraies et non prouvables.
Le problème est juste celui de la prouvabilité, pas celui du fait que la théorie soit cohérente ou non.
Pour faire simple, la théorie est peut-être cohérente, mais si elle est capable de le prouver elle-même, c'est qu'elle ne l'est pas.

Dit autrement (après je dois aller m'occuper du chapon):

Toute théorie axiomatique cohérente dans laquelle on peut formuler un énoncé de ce genre doit être nécessairement incomplète: ou cet énoncé est faux, auquel cas il est à la fois faux et démontrable, contredisant ainsi la cohérence du système axiomatique, ou il est vrai,auquel cas il est à la fois vrai et indémontrable, ce qui en établit l'incomplétude.

Donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence est soit vraie mais indémontrable, soit démontrée (grâce à Gödel) mais incohérente, soit (du fait qu'elle serait capable de prouver sa cohérence) nécessairement incohérente, soit fausse et démontrable, soit en tout cas frappée d'incomplétude sévère.

[Robert64]

...
Donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence est soit vraie mais indémontrable, soit démontrée (grâce à Gödel) mais incohérente, soit (du fait qu'elle serait capable de prouver sa cohérence) nécessairement incohérente, soit fausse et démontrable, soit en tout cas frappée d'incomplétude sévère.

Non, parce que ce n'est pas une théorie. Il s'agit du résultat d'une démonstration logique.
A+
Dans leurs Principia Mathematica, Russel et Whitehead ont je crois développé cet aspect, puisque Gödel y fait référence dans sa démonstration, mais c'est pratiquement illisible.
Je pense que si cette objection était recevable, il est certain que Hilbert qui n'était pas le premier venu et dont Gödel venait de casser le jouet l'aurait formulée.
Il y a sûrement des écrits plus modernes sur le sujet, mais je ne les connais pas. Et les logiciens vulgarisent peu.

[Snatcher]

...
Donc la théorie qui prétend qu'une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence est soit vraie mais indémontrable, soit démontrée (grâce à Gödel) mais incohérente, soit (du fait qu'elle serait capable de prouver sa cohérence) nécessairement incohérente, soit fausse et démontrable, soit en tout cas frappée d'incomplétude sévère.

Non, parce que ce n'est pas une théorie. Il s'agit du résultat d'une démonstration logique.
A+
Dans leurs Principia Mathematica, Russel et Whitehead ont je crois développé cet aspect, puisque Gödel y fait référence dans sa démonstration, mais c'est pratiquement illisible.
Je pense que si cette objection était recevable, il est certain que Hilbert qui n'était pas le premier venu et dont Gödel venait de casser le jouet l'aurait formulée.
Il y a sûrement des écrits plus modernes sur le sujet, mais je ne les connais pas. Et les logiciens vulgarisent peu.

Objection finale retenue...
Ma formulation initiale dénommant abusivement par le terme théorie ce qui était un théorème était une boutade de logique autoréférente, à l'image du serpent qui se mort la queue. Ca peut parfois être marrant.
Mais si Russel et Whitehead se sont penchés sur le problème, j'ai un peu moins honte d'avoir poussé le bouchon.

Gödel y fait référence dans sa démonstration, mais c'est pratiquement illisible.

Je veux bien le croire sur parole.

[Robert64]

C'est justement avec une proposition de ce genre que Russell a porté le premier coup à l'édifice de Hilbert.
Initialement, c'était une question:
"L'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux mêmes se contient-il lui même ?"
Si tu réponds non, la logique dit oui et si tu réponds oui, la logique dit non.
Paradoxe complet, connu sous le nom de paradoxe de Russell.
(plus tard, Von Neumann a introduit plusieurs théorèmes restrictifs sur les ensembles qui ne permettent plus une telle proposition)
Russell, quand à lui a vulgarisé son paradoxe sous le nom de "paradoxe du coiffeur":

Imaginons une ville où le rasage est strictement réglementé:
-Chaque homme est tenu de se raser tous les jours
-Mais on n'est pas obligé de le faire sois-même: pour ceux qui veulent, il y a le barbier. En fait, la loi précise: "ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes sont rasés par le barbier"
Et c'est là que survient le paradoxe: "qui rase le barbier?"
-De toute évidence, il ne peut pas se raser lui-même car alors, étant barbier, ça voudrait dire qu'il est rasé par l'homme qui ne rase que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes!
-Or il ne peut "aller chez le barbier" , car cela voudrait dire qu'il se rasera lui-même, ce qu'il n'est pas censé faire.

Le second coup a été porté par Gödel
Von Neumann a commenté :"Tout est fini!"
Ce qui était fini était un vieux rêve grec de 20 siècles qui était celui d'une mathématique prouvée par elle même à laquelle Hilbert et beaucoup de grands mathématiciens avaient consacré leur vie.

Bon réveillon!
A+

[poilau]

Comme dit le proverbe, c'est toujours le fils du cordonnier qui est le plus mal chaussé .

[thierry38...]

Bonjour Robert,

Ce qui était fini était un vieux rêve grec de 20 siècles qui était celui d'une mathématique prouvée par elle même à laquelle Hilbert et beaucoup de grands mathématiciens avaient consacré leur vie.

C'est à dire que les transfo. de Hilbert sont fausses ?

[Robert64]

Bonjour Robert,

Ce qui était fini était un vieux rêve grec de 20 siècles qui était celui d'une mathématique prouvée par elle même à laquelle Hilbert et beaucoup de grands mathématiciens avaient consacré leur vie.

C'est à dire que les transfo. de Hilbert sont fausses ?

Ah non, tu peux y aller sans crainte, elles ne débouchent sur aucun paradoxe. Elles reposent sur une ou plusieurs propositions de base vraies et non prouvables à partir d'elles mêmes.

Dans la fameuse conférence de 1900 au Congrès international des mathématiciens de Paris, Hilbert essaya de brosser un panorama de ce que seraient les mathématiques du XXème siècle, sous la forme de 23 questions ouvertes. (ouvertes = non résolues à ce jour)

Sur ces "problèmes de Hilbert" désormais célèbres, 11 ont reçu une solution complète, 7 une solution partielle , tandis que les autres,(le plus fameux étant le 8ème, connu sous le nom "d'Hypothèse de Riemann" ) restent à ce jour non résolus.

Quand au second qui était la preuve de la complétude de l'arithmétique, il l'a été par Gödel, mais certainement pas de la manière dont Hilbert l'espérait. (bien que ce point soit encore discuté par certains logiciens)

Donc, il en reste 5 et il y a une médaille Fields à prendre
Au boulot!

6e Axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique.

8e Démontrer trois conjectures :
— l'hypothèse de Riemann ;
— la conjecture de Goldbach ;
— la conjecture des nombres premiers jumeaux.

12e Prolonger le théorème de Kronecker-Weber à tous les corps de nombres.

16e Décrire les positions relatives des branches de courbes algébriques réelles et des cycles limites d'un champ de vecteurs à deux dimensions.

23e Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations

A+

[Robert64]

https://lejournal.cnrs.fr/videos/en-fra ... -meteorite
A+

[alain_38]

https://lejournal.cnrs.fr/videos/en-france-limmense-cicatrice-dune-meteorite
A+

Super bien fait.
Et
https://fr.wikipedia.org/wiki/Astrobl%C3%A8me_de_Rochechouart-Chassenon

[alain_38]

.

[SEM]

Je lis avec beaucoup d'intérêt vos échanges, même si je ne comprends pas tout, et loin de là

je n'ai en effet qu'un niveau bac (bac technique, en plus)
pour moi les mathématiques que j'ai fait (géométrie, algèbre, trigonométrie, étude de fonctions, logarithme, nombres complexes), pour intéressant en soi que cela pouvait être, fournissaient également à l'élève que j'étais une boite à outil pour aborder d'autres matières comme la physique, ou l'électricité, l'électronique. donc des applications pratiques. Pour tracer un angle droit en pleine nature (pour planter des vignes par exemple, perpendiculaire à un chemin) on peut parfaitement utiliser le théorème de pythagore (avec une ficelle de 6 m, une de 8, et une de 10 et des piquets ça marche très bien)
D'ou un peu ma question, les mathématiques dont vous parlez (Gödel, par exemple), possèdent elles des champs d'application pratique ?

[Robert64]

Je lis avec beaucoup d'intérêt vos échanges, même si je ne comprends pas tout, et loin de là

je n'ai en effet qu'un niveau bac (bac technique, en plus)
pour moi les mathématiques que j'ai fait (géométrie, algèbre, trigonométrie, étude de fonctions, logarithme, nombres complexes), pour intéressant en soi que cela pouvait être, fournissaient également à l'élève que j'étais une boite à outil pour aborder d'autres matières comme la physique, ou l'électricité, l'électronique. donc des applications pratiques. Pour tracer un angle droit en pleine nature (pour planter des vignes par exemple, perpendiculaire à un chemin) on peut parfaitement utiliser le théorème de pythagore (avec une ficelle de 6 m, une de 8, et une de 10 et des piquets ça marche très bien)
D'ou un peu ma question, les mathématiques dont vous parlez (Gödel, par exemple), possèdent elles des champs d'application pratique ?

Il est très difficile de dire à un moment donné si les recherches fondamentales (que ce soit en maths ou dans toute autre discipline) auront des applications ou non et si oui, à quel horizon.
Il y a des exemples qui sont restés célèbres:
Par ex., pendant des décennies, les matheux ont travaillé sur des méthodes (et la théorie qui va avec) pour la décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Application visée: aucune.
Or, ces résultats sont à la base de l'algorithme RSA (dit à clé publique) qui est à la base du cryptage de nos cartes bancaires ainsi que de beaucoup de transmissions confidentielles.
Et ça personne ne l'avait prévu.
De même, les techniques de compression de données qui ont rendu plein de choses possibles en stockage et traitement image et vidéo, viennent de travaux fondamentaux dont les auteurs n'avaient pas la moindre idée de l'utilité.
Idem pour le calcul des décimales de pi: on a dépassé le chiffre de 206 milliards en 1999. On ne peut pas rêver truc plus inutile. Il y a là dedans un petit côté "compétition sportive", mais c'est aussi une excellente méthode pour tester les super calculateurs. Et ça fait progresser la théorie des nombres. Un jour, il y aura peut-être d'autres applications.
Les travaux des logiciens comme Gödel n'auront probablement jamais d'application (quoi que ça amuse les philosophes), mais en donnant aux maths un cadre rigoureux, il permettent de
temps à autres la découvertes de belles pépites .
A+