En page 1 il y a quelques explications sur :
- les outils de calcul de mode propre d'une salle
- la lecture d'une courbe de réponse en impulsion et son utilité (ce sujet se découpe en 2-3 posts, page 1)
- des notions de temps de réverbération et ses indicateurs (RT60, C50, ... sujet toujours en construction)
ce nouveau post concerne un autre sujet propre au "calcul acoustique".
La notion de "vitesse de groupe".
Notion pas simple et qui demande d'avoir expliqué beaucoup de chose sur ce qu'est une onde avant.
Comme toujours, un peu de lecture sur ce sujet, et je reviens en mode "edit de post" dès que j'ai des choses à dire ...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_d% ... _de_groupe" onclick="window.open(this.href);return false;
http://hmf.enseeiht.fr/travaux/CD9899/t ... 9/pa04.htm" onclick="window.open(this.href);return false;
http://www.sciences.univ-nantes.fr/phys ... 1propa.htm" onclick="window.open(this.href);return false;
http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00 ... 4C5162.pdf" onclick="window.open(this.href);return false;
http://www.legi.hmg.inpg.fr/~voisin/papers/osates1.pdf" onclick="window.open(this.href);return false;
http://www.deugs3smr.u-psud.fr/DEUGS3SMR/physique.html" onclick="window.open(this.href);return false;
http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutori ... nature.htm" onclick="window.open(this.href);return false;
http://francis.audio.monsite.wanadoo.fr/page7.html" onclick="window.open(this.href);return false;
I-Qu'est ce qu'une Onde ??Pour commencer, je reprends les bases de wikipédia:
Une onde sonore est une onde longitudinale !
Une onde électromagnétique est transversale, une vague sur un océan aussi ...
Ké Zako ?
Zako que dans une onde sonore, le déplacement des molécules d'air se fait dans le même sens que le déplacement de l'onde.
à l'inverse dans une vague, les molécules d'eau montent et descendent tandis que l'onde passe le long de la surface de l'eau: les molécules d'eau se déplacent perpendiculairement au sens de progression de l'onde. Pour être un peu moins schématique, une vague est le plus souvent accompagnée d'un mouvement de proche en proche dans le sens de la vague, elle est donc à la fois longitudinale et transversale.
La petite molécule d'air est donc poussée par l'onde puis reviens à sa position d'équilibre (si il n'y a pas de vent, dans une pièce fermée, sans courant d'air, sans convection ...), elle pousse sa voisine et ainsi de suite de proche en proche, comme des dominos, l'air se déplace dans le sens de l'onde sonore, puis revient à sa position initiale.
ça tombe bien que l'onde sonore soit longitudinale, car le principe d'un haut-parleur est justement de pousser l'air pour provoquer une onde ... comme quoi c'est bien pensé la nature
Bon, donc tout va bien les molécules se poussent, reviennent à leur place et recommencent autant de fois qu'une onde sonore passe dans le coin, c'est disneyland au pays des molécules d'air ...
Une onde est dans sa plus simple expression (plane suivant un axe rectiligne dans un espace à 2 dimensions) modélisée par une fonction sinusoidale de pulsation Pul (Omega), de fréquence f, de période T, de longeur d'onde Lam (lambda), de vecteur d'onde k, d'amplitude A, de vitesse de phase vp (ou célérité), de déphasage Phi, suivant un axe orienté dont la position est donné par z à un temps t : l'onde est modélisée par une fonction dont la représentation est donnée par la formule:
Psi(t,z) = A cos( Phi - k*z + Pul*t)
Psi(t,z) est la valeur de l'onde au temps t, au point z et A, Phi, k et Pul suffisent à déterminer la valeur de l'onde en ce point espace/temps z/t. à ce stade, Psi(t,z) n'a pas d'unité (SPL, db, dbA ...).
Psi(t,z) donne alors la courbe suivante:
On a les relations suivantes:
Pul = 2*pi/T = 2*pi*f
Lam= vp*T=vp/f
k=2*pi/Lam=2*pi*f/vp=Pul/vp
Dans le vide, une onde électromagnétique a vp=c, c vitesse de la lumière, dans l'air le son a vp=340m/s environ.
vp est donc la célerité de l'onde dans le milieu, concretement c'est ce qu'on appelle normalement la vitesse du son dans l'air !
juste une remarque : le son n'est pas une onde comme les autres puisque sans air, point de son ! ce n'est pas une onde électromagnétique et donc elle ne suit pas toutes les relations des ondes électromagnétiques.
Continuons sur les bases:
vp, vitesse de phase d'une onde dans un milieu d'indice n indépendant de la pulsation (Pul) est donnée par la relation:
vp=Pul/k = c/n
car Pul = k*c/n, k nombre d'onde vu plus haut, c célérité de la lumière dans le vide, n indice du milieu par rapport au vide.
dans ce cas la vitesse de groupe vg est donné par la même relation:
vg= dPul/dk=c/n=vp
dPul est la dérivée de la pulsation par dk, la dérivée du nombre d'onde k.
On a donc vp=vg, la vitesse de groupe est égale à la vitesse de phase, il n'y aucune dispersion de l'onde, elle reste "groupée" et la Pulsation de l'onde reste linéaire par rapport au nombre d'onde, il n'y a pas de pulsation liée à des interactions entre les différentes Pulsations de l'onde (cette fois_ci vue comme une onde avec de multiples fréquences).
la vitesse de groupe est vue comme la vitesse de l'énergie transportée par l'onde, si il n'y a pas de dipersion de l'onde (vg=vp), toute l'énergie reste "en phase" avec le front d'onde et toute l'énergie est concentrée dans le front d'onde.
une image pour fixer les idées, d'une onde non dispersée dont la vitesse de phase est égale à la vitesse de groupe:
Par contre si les fréquences constituant l'onde "interagissent" parce que le milieu est "dispersif" (l'indice du milieu n'est pas une constante suivant la fréquence) alors l'énergie se disperse et la vitesse de groupe est différente de la vitesse de phase. Toute l'énergie de l'onde n'est pas concentrée sur le front d'onde (à cause des interactions avec le milieu et de la dépendance de l'indice du milieu avec les fréquences de l'onde).
une image pour fixer les idées d'une onde dispersée dont la vitesse de groupe n'est pas égale à la vitesse de phase:
une collection d'images animées où l'on voit les différents cas possibles entre vp et vg :
http://www.futura-sciences.com/uploads/ ... ackets.gif" onclick="window.open(this.href);return false;
Zoom sur T, LamT est la périodicité temporelle: en un même point de l'espace, entre 2 instants séparés de T secondes, on retrouve la même valeur de l'onde.
Lam (Lambda) est la périodicité spatiale, c'est la longueur d'onde: au même instant, si on fige comme une photo l'onde, en se déplaçant d'une distance de Lambda mètres, on retrouve exactement la même valeur de l'onde.
Exemple en audio:
une onde à 20Hz est une onde qui "bat" 20 fois par seconde, le temps d'un "battement" est donc de 1/20 de seconde:
T=0.05 seconde. Toutes les 0.05 secondes, au même point, on a pu voir l'onde passer du maximum d'amplitude au minimum et revenir au maximum. Une "période" entière est passée.
Comme vp=340m/s, en 0.05 seconde l'onde a parcouru une distance de 0.05*340=17 mètres. La longueur d'onde de cette onde est de 17 mètres: toutes les 17 m, on retrouvera exactement la même amplitude et la même phase de l'onde.
II-Qu'est ce que la vitesse de groupe ?On l'a vu au point précédent mais le concept est loin d'être clair !!
il faut y revenir ...
Zoom sur vp et vg - Tg, le temps de propagation de groupe ou Group Delay:il y a effectivement une définition du "Group Delay" (retard de groupe = temps de propagation de groupe) qui est la dérivée de la phase par rapport à la pulsation.
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =726-05-16et par ailleurs, il y a la vitesse de groupe (group velocity) qui est la dérivée de la fréquence par rapport à l'inverse du vecteur d'onde.
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =702-02-22http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =731-03-29enfin, il y a un lien entre ces 2 grandeurs, donné par :
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =705-02-22http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =726-05-17voilà qui éclaire les définitions de ces termes.
vg = dPul/dk et vp=Pul/k
Si vp est constant: dPul/dk=vp, donc vg=vp.
Si vp n'est pas constant: vg=vp/(1-(dvp/dPul)*(Pul/vp)) , s'en suit que la vitesse de phase est aussi dépendante de la pulsation.
Dans sa forme générale, en prenant en compte la vitesse de groupe liée aux battements induits par la différence de vitesse de phase entre deux ondes proches de Pul:
Psi(t,z) =
A*cos( Phi - k*z + Pul*t) *
2*cos(1/2*(dPul*t - dk*z)).
le terme supplémentaire qui n'existait pas dans la première version de Psi(t,z) : 2*cos(1/2*(dPul*t - dk*z))
met en avant l'effet de "battement" autour de Pul, battement ayant une "vitesse de diffusion" de dPul/dk = vg, la vitesse de groupe.
Psi(t,z) a donc deux vitesse de diffusion : vp et vg, toutes deux représentent des vitesses liées à l'onde. L'un dite vitesse de phase représente la vitesse de propagation de la "phase" de l'onde et est lié au terme bleu de l'équation, l'autre dite vitesse de groupe représente la vitesse de propagation de l' "amplitude" de l'onde (si on lui ajoute A), liée au terme rouge dans l'équation et est l'effet de battement autour de Pul car la célérité n'est pas indépendante de la fréquence de l'onde (indépendante de Pul).
dit autrement:
pour 2 ondes de fréquence proches f1 et f2, proches de f0.
si le milieu est tel que la vitesse de phase n'est pas indépendante de la fréquence de l'onde, f1 va se diffuser avec une vitesse différente de f2, supposons moins vite. comme f1 va moins vite que f2, la superposition des ondes f1 et f2 va "ressembler" à une onde f0 dont l'amplitude va "battre" au rythme de la différence de vitesse de phase entre f1 et f2, cette différence de vitesse représente la vitesse de groupe (pas mathématiquement).
Mathématiquement:
vg=dPul/dk= d(k*vp)/dk=
vp+ dvp/dk = vgla vitesse de groupe est la vitesse de phase augmentée de la variation de vp pour une variation de longueur d'onde (donc de fréquence, ou de pulsation, ou de période). si cette variation de vp est nulle (cas de l'air en première approximation), elle sont égales.
Donc à ce stade, si
on résume les définitions:
Psi(t,z) =
A*cos( Phi - k*z + Pul*t) *
2*cos(1/2*(dPul*t - dk*z)).
A = amplitude
Phi = déphasage à (0,0)
k = nombre d'onde (ou vecteur si besoin d'un espace 3 ou 2d)
z = abscisse ou distance à l'origine
Pul = pulsation
t = temps
vg = dPul/dk = Vitesse de groupe = Group Velocity cf
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =702-02-22vp=Pul/k= Vitesse de Phase = Phase Velocity cf
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =103-10-13Dg = Tg = dPhase/dPul Temps de propagation de groupe = Délai de groupe = Group Delay = Retard de groupe, s'exprime en seconde cf
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =726-05-16Pul = 2*pi/T = 2*pi*f
Lam= vp*T=vp/f
k=2*pi/Lam=2*pi*f/vp=Pul/vp
Lam = longueur d'onde
f = fréquence
T = période
et le rapport entre Délai de groupe et Vitesse de groupe cf
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf ... =726-05-17 :
La vitesse de groupe est le rapport entre une distance propre à un trajet de l'onde et le délai de groupe sur ce trajet.
vg= dz/Dg
III-En acoustique ?dans une pièce l'indice du milieu est constant ... entre 2 parois (y compris les parois de l'enceinte ou des haut parleurs de l'enceinte), mais comme il y a des parois qui réfléchissent l'onde, c'est "comme si" l'indice du milieu n'était pas constant et réagissait aux différentes fréquences différemment suivant les fréquences. On a donc une vitesse de groupe différente de la vitesse de phase et l'énergie de l'onde n'est pas véhiculée à la meme vitesse que l'onde. Ce qui "disperse" l'onde et son énergie.
de plus: une onde sonore est le résultat de pression/dépression sur l'air, il y a donc les particules d'air qui interagissent entre elles, induisant aussi un effet dispersif sur l'onde.
En résumé, au premier ordre et sans doute plus,
il n'y a pas d'effet de vitesse de groupe sur une onde sonore dans l'AIR et l'indice du milieu est bien constant. on a vg=vp.
Par contre on a des "interactions" entre ondes incidentes et réfléchies, des modes propres liées aux dimensions de la pièces, des réflexions non homogènes liées aux différents matériaux composant le revêtement des murs et plafonds, des harmoniques liées aux modes propres, aux enceintes et à l'électroniques. Bref c'est turbulent !!
Cette turbulence "ressemble" aux phénomènes de vitesse de groupe mais n'en est pas. et
je cherche encore une formulation complète prenant en compte ondes incidentes et réfléchies avec déphasage à la réflexion, perte d'amplitude, sur une sphère d'onde.
Remarque: on peut imaginer les molécules d'air comme immobiles mais elles ne le sont pas, en fait elles sont animées d'un mouvement dont la vitesse est dite
vitesse quadratique moyenne liée à l'agitation thermique et vaut : 0.68*vp, elle est donc du meme ordre de grandeur que vp. L'agitation des molécules d'air au passage d'une onde sonore est donc toute relative et très proche de l'agitation "au repos" ...
La fonction Psi(t,z) donnée plus haut est une formule pour une onde en 2 dimensions, en 3 dimensions (une pièce), la fonction se complique d'un terme multiplicateur en 1/r qui vient prendre en compte que la sphére de l'onde globalement garde la puissance et l'énergie de l'onde mais que le rayon de cette sphere augmentant avec la distance à la source, la surface de celle-ci augmente aussi (en r²): l'amplitude de l'onde diminue donc d'autant (en 1/r seulement car l'énergie est une intensité au carré). L'amplitude A devient une amplitude fonction de la distance à la source (r) en A/r.
Si on creusait ?
page 209: mise en place du principe des ondelettes et des fonctions de Green pour modéliser une onde. Cela n'apporte pas grand chose ...
page 292: introduction des phonons, entités inexistantes
IV: Alors pourquoi parle-t-on toujours du délai de groupe ??un peu plus haut la conclusion était : vg=vp donc il n'y a pas d'effet de la vitesse de groupe
dans l'air.
Pour autant : l'enceinte elle génère un delai de groupe qui est dû à l'ensemble de la chaine de traitement du son et a pour résultat que suivant les fréquences, la phase est décallée.
Exemple: soit 2 sons sinusoidaux très proches à f1 et f2, générés en phase, ils ne seront pas reproduit en phase par l"enceinte.
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_delay" onclick="window.open(this.href);return false;
http://www.radiolab.com.au/DesignFile/DN004.pdf" onclick="window.open(this.href);return false;
que nous apprend ce papier ?
Qu'il existe une définition du "délai de groupe" (goup delay) : Tau(Pul) = - dPhi(Pul)/dPul
que vaut la fonction Phi ... c'est celle que l'on retrouve dans l'expression de la fonction de transfert H(jPul) où
H(jPul) = A(jPul) e(jPhi(jPul)) où e est le népérien complexe.
1ère remarque: il y a une erreur de typographie sans doute puisque la fonction Phi est définie pour jPul dans H et pour Pul dans Tau, pourtant dans l'exemple H(jPul) = e(-jPulT) , T étant la période, Pul toujours la pulsation, on a Tau = T, donc Phi(jPul)=Phi(Pul)=PulT.
Puis vient le cas d'un filtre passe bas de type RC, où
Tau = 1/Pul
je reprends ici un post de Francis Ibre sur le forum elektor.fr, il y définit
je quote
Francis Ibre a écrit:le délai de groupe est, en bon français, la **vitesse de variation de la phase** en fonction de la fréquence.
Cette vitesse n'est - malheureusement - pas constante...
Si elle l'était, la courbe de phase serait une droite (en coordonnées linéaires).
Sur cette courbe de phase, tu peux mesurer facilement la pente.
Evidemment, cette pente n'est pas partout la même...
Mais en un point particulier, cette pente Dg est facilement calculée par :
Dg = delta (Phi) / delta (F)
delta (Phi) variation de phase
delta (F) variation de fréquence.
Avec Phi en degré et F en Hz, Dg s'exprime donc en **degré par Hertz**, et ça devrait être l'unité normalement utilisée, mais voilà :
- l'unité légale pour Phi (la phase) est le radian (360° = 6,28 radian)
- l'unité légale pour la fréquence est le radian par seconde : W (oméga) est mesurée en Rad/s
Par conséquent, la **vitesse de variation** de phase, qui devrait s'exprimer en degré / hertz, est calculée en :
radian (la phase) divisé par des radian/seconde (la pulsation = 2 Pi fois la fréquence)
et des rad / rad / sec, ça nous fait des... secondes !!!
Voilà pourquoi cette vitesse de variation de phase est homologue à un temps.
On l'appelle **temps de propagation de groupe**.
Group-delay en anglais.
on voit qu'ici on parle indifféremment de "group delay", "délai de groupe", "vitesse de variation de phase" et "temps de propagation de groupe".
fort de ces définitions sur le delai de groupe -
group delay, on peut regarder plus loin sur REW et, depuis la version V5 de 2010, on y trouve des graphique de!
- minimum phase
- excess phase
- group delay
- excess group delay
KESAKO ??
on va les prendre une par une, expliquer le contenu de chacune, parfois expliquer comment elles sont calculées et enfin savoir à quoi elles servent et comment les interpréter pour en déduire les caractèristque du système de preproduction du son ...
A- Minimum Phase.
un système est dit à Minimum phase si il possède plusieurs propriétés: linaire, invariant dans le temps, son inverse est "causal" et "stable".
Linéaire : dont les variations sont continues
invariant dans le temps: quelque soit le moment où on décide d'envoyer l'input signal, l'output signal sera le même.
son inverse est :
causal : l'output est fonction du passé et du présent et non du future; il n'y a pas d'état prédicitif.
stable: la réponse en impulsion est "totalement intégrable"; ce qui implique l'inexistence de pic/trou.
C'est l'aspect stable et linéaire qui sont les plus sujets à discussion pour une enceinte en milieu réverbérant.
Pour un système acoustique, si il est à minimum phase, il a:
- le délai pour passer à travers le système est le plus petit possible
- il peut être inversé
A': Linear Phase
est dit Linear Phase un système dont la réponse en phase est une fonction linéaire de la fréquence : Phase = Kfreq + Cste.
Le group delay est alors une constante : GD = K.
les filtres FIR peuvent être à phase linéaire (en particulier si les coefficients du polynôme sont symétriques ou symétriques inversés), contrairement au filtre IIR qui sont généralement des filtres à phase minimale. Un filtre FIR peut aussi être à phase minimale.
le group delay est la variation de la phase par rapport à la fréquence.
un filtre FIR à phase linéaire (et donc coef symétriques ou symétriques inversés), le GD = (N-1)2 samples, c'est donc une constante fonction du Nbr de taps (N), si la fréquence d'échantillonnage est de 48kHz, 1 sample = 1/48000 secondes.
si le group delay change, par ce que on ajoute une contante à sa valeur initiale GD: on passe de GD à GD + K.
ce qui fait que la phase P passe de P à P + Kf + C (à 2k pi près), donc oui la phase devient linéaire, c'est le terme en Kf+C, mais ne reste donc pas intact.
je vois mal comment justifier qu'un terme linéaire en Kf fonction de la fréquence donc n'a aucun impact sur la phase.
si tout va bien la phase est une fonction linéaire de f et de t (temps): 2pi*f*t + P°
cela induit bien un déphasage par rapport à l'initial de Kf+C modulo 2pi.
en résumé:
1- le group delai est impacté d'une constante
2- la phase est impacté d'une constante pour une fréquence donnée, constante fonction linéaire de la fréquence.
d'ou le nom "phase linaire".
dire que cette linéarité est sans impact doit vouloir dire que :
si la nature de la phase est déjà linéaire (en f), elle le reste.
si elle ne l'est pas, elle ne le devient pas plus.
Comme le but d'un FIR est d'obtenir une phase proche de 0 partout (à toutes les fréquences), le FIR prendra en compte sa propre pente (K=(N-1)/2*1/Fs secondes) pour obtenir la cible.
http://iowahills.com/B1GroupDelay.html https://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Nume ... Delay.htmlhttps://courseware.ee.calpoly.edu/~fdep ... 0Phase.pdfUne fois encore, c'est la théorie.
je pousse:
il est rare que tout va bien et la phase est une fonction à la fois de la vitesse de groupe et de la vitesse de phase.
Le point qui pose pb est , le plus souvent, le fait que ces 2 vitesses ne sont pas de même nature, ce qui induit une pulsation et une perte d'énergie, l'onde a des battements et parfois ces battements sont chaotiques ...
on sait que :
vg=dPul/dk= d(k*vp)/dk=vp+ dvp/dk = vg
avoir une onde "cohérente" c'est avoir un battement nul, pas de perte d'énergie, ou dit autrement, un terme dvp/dk nul.
si on passe de vg à vg + K, on n'introduit pas de "battement" supplémentaire, on ne décorelle pas l'onde, elle reste cohérente (si elle l'était) ou non.
vp devient vp + K et dvp/dk reste ce qu'il était (on espère toujours nul, mais rien n'est gagné ...).
En conclusion: avoir une phase linaire n'introduit pas de perte de cohérence de l'onde, pas de battement, pas de perte d'énergie.
Pour autant il y a un impact sur la phase et sur le group delay : impact sans conséquence globale sur l'onde.
voilà ma vision des choses.
B- Excess phase
La courbe d’ excess phase est la différence entre la phase mesurée et la phase minimum
C-group delay
The group delay for the measurement is calculated from the slope of the phase trace. Note that
if smoothing has been applied to the measurement that will also smooth the phase and group
delay traces.
D- Excess Group Delay
la différence entre le groupe délai réellement mesuré et le group délai d’un système à phase minimum compatible avec la courbe de réponse en fréquence réellement mesurée.
suivant Blauert et Laws, en 1978, voici les limites admissibles de l'excess Group Delay sans qu'il y ait pour autant un impact "audible".
Frequency Threshold
500 Hz ; 3.2 ms
1 kHz ; 2 ms
2 kHz ; 1 ms
4 kHz ; 1.5 ms
8 kHz ; 2 ms
Lien entre delay de group et oreilles :
http://articles.ircam.fr/textes/Larcher01a/index.pdfHRTF: ensemble de modèles permettant de reproduire des effets de spatialisation du son pour une écoute au casque.
le but est donc de modéliser la perception binaurale d'un homme à travers l'HRTF.
les HRTF se décomposent en un filtre à phase minimale (sous forme FIR ou IIR suivant le but recherché) et un filtre passe-tout.
il faut environ 300 mesures par oreille pour pouvoir établir les valeurs des filtres équivalents.
l'ITD (le retard interaural) se déduit de l'excès de phase (régression linéaire du spectre d'exces de phase sur 200Hz-4kHz).
la modélisation IIR est plus fidèle en basses fréquences que la modélisation FIR, pour un nombre de coefficients donné et une fréquence d'échantillonnage supérieur à 40kHz.
http://assoacar.free.fr/archives/Cours/ ... 0PARIS.pdf"la mesure des niveaux de masquage d’un son pur par un bruit, lorsque la phase relative du son
pur par rapport au bruit varie sur une oreille, tandis qu’elle reste fixée sur l’autre oreille.
La
phase d’un signal, on le sait, est habituellement peu porteuse d’information pour l’audition ;
cependant on constate que si les phases relatives d’un signal et d’un bruit masquant sont
différentes entre les deux oreilles, le seuil de détection du signal est amélioré de jusqu'à 10-15
dB, par rapport à la condition où les déphasages binauraux sont identiques."
A suivre ...